He aquí un problema de sencilla formulación que resistió tenazmente hasta Gallai encontró una solución por el camino de la geometría proyectiva.
En Q.e.d. veremos una sencilla y bella demostración que hace uso del Principio de Buena Ordenación
El Problema
Don José es dueño de un huerto y tiene ideas muy excéntricas a la hora de plantar árboles en el mismo. Instruye al jardinero Jacinto:
- Plantá los árboles que hagan falta pero procurá que estén alineados de a tres o más árboles.
- Señor, ¿podría colocarlos a todos en una misma línea?
- No Jacinto. Me gustaría un diseño más atractivo. A ver si me explico: no quiero a los árboles todos en una línea, pero cada vez que una línea recta pase por sólo dos árboles, planta otro árbol en esa línea para que haya tres.
Jacinto comenzó su tarea diseñando posibles esquemas para realizar la plantación de árboles. Pronto comprendió que no podría hacerlo sembrando unos pocos árboles. En la Figura 1 se ven los primeros esquemas de Jacinto en los que ha marcado los árboles con puntos celestes, con el mismo color las líneas con sólo dos árboles y con una línea negra punteada aquellos líneas que contienen tres árboles.
El jardinero observó que, a medida que iba agregando árboles para eliminar una línea con dos árboles, otras nuevas líneas con dos árboles aparecían. A los pocos días, descorazonado, Jacinto presentó su renuncia.
Un poco de Historia
En 1893 James Joseph Sylvester propuso este problema en una revista de Educación. La formulación de Sylvester en forma de pregunta, fue la siguiente:
Considere un conjunto finito de puntos (los árboles) en el plano (el huerto) con la propiedad de que la recta que pasa por dos puntos cualesquiera contiene a un tercero del conjunto. ¿Deberán todos los puntos estar sobre una recta?
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| James J. Sylvester |
Cuando planteó este problema, Sylvester contaba con 73 años y su prestigio estaba extendido por toda la comunidad científica. No hay registro de que haya encontrado una solución al problema. Es destacable (por lo poco frecuente hoy en día) que un matemático de la estatura científica de Sylvester se haya preocupado por la divulgación de problemas interesantes en revistas de educación matemática.
El problema parece haber caído en el olvido hasta que en 1933 otro grande, Paul Erdös, lo rescató en forma de conjetura:
Si un conjunto finito de puntos en el plano no está sobre una línea recta, entonces hay una recta que pasa exactamente por dos puntos del conjunto.
Con su afirmación, Erdös le quita al jardinero de nuestra historia toda esperanza
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